Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки). Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ. или, . Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку "Получить запись".
Исходное число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Хочу получить запись числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Получить запись
Выполнено переводов: 3036712
Также может быть интересно:
- Калькулятор таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина
Системы счисления
Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные . Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.
Пример 1 . Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:
Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Пример 2 . Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 +6·10 -2 +7·10 -3 .
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:
1.
Перевести число 1001101.1101 2 в десятичную систему счисления.
Решение:
10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 -4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Ответ:
10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Перевести число E8F.2D 16 в десятичную систему счисления.
Решение:
E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Ответ:
E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.
Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.
3.
Перевести число 273 10 в восьмиричную систему счисления.
Решение:
273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка
: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ:
273 10 = 421 8
Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.
Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью . Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.
4.
Перевести число 0.125 10 в двоичную систему счисления.
Решение:
0.125·2 = 0.25 (0 - целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 - вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 - третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ:
0.125 10 = 0.001 2
1. Порядковый счет в различных системах счисления.
В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».
Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.
Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.
Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.
Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.
Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.
Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.
3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.
Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.
Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:
Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.
Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.
Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.
4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).
Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.
Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:
Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Т.е.
Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.
Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.
Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.
Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:
Когда занимаешься настройками сетей различного масштаба и каждый день сталкиваешься с вычислениями – то такого рода шпаргалки заводить не обязательно, все и так делается на безусловном рефлексе. Но когда в сетях ковыряешься очень редко, то не всегда вспомнишь какая там маска в десятичной форме для префикса 21 или же какой адрес сети при этом же префиксе. В связи с этим я и решил написать несколько маленьких статей-шпаргалок по переводом чисел в различные системы счислений, сетевым адресам, маскам и т.п. В это части пойдет речь о переводи чисел в различные системы счислений.
1. Системы счислений
Когда вы занимаетесь чем-то связанным с компьютерными сетями и ИТ, вы по любому столкнетесь с этим понятием. И как толковый ИТ-шник вам нужно разбираться в этом хотя бы чу-чуть даже если на практике вы это будете применять очень редко.
Рассмотрим перевод каждой цифры из IP-адреса 98.251.16.138
в следующие системы счислений:
- Двоичная
- Восьмеричная
- Десятичная
- Шестнадцатеричная
1.1 Десятичная
Так как цифры записаны в десятичной, перевод с десятичной в десятичную пропустим 🙂
1.1.1 Десятичная → Двоичная
Как мы знаем двоичная система счисления используется практически во всех современных компьютерах и многих других вычислительных устройствах. Система очень проста – у нас есть только 0 и 1.
Для преобразования числа с десятиной в двоичную форму нужно использовать деление по модулю 2 (т.е. целочисленное деление на 2) в результате чего мы всегда будем иметь в остатке либо 1, либо 0. При этом результат записываем справа налево. Пример все поставит на свои места:
Рисунок 1.1 – Перевод чисел из десятичной в двоичную систему
Рисунок 1.2 – Перевод чисел из десятичной в двоичную систему
Опишу деление числа 98. Мы делим 98 на 2, в результате имеем 49 и остаток 0. Далее продолжаем деление и делим 49 на 2, в результате имеем 24 с остатком 1. И таким же образом добираемся до 1-ки или 0-ка в делимом. Затем результат записываем справа налево.
1.1.2 Десятичная → Восьмеричная
Восьмеричная система – это целочисленная система счисления с основанием 8. Т.е. все числа в ней представлены диапазоном 0 – 7 и для перевода с десятичной системы нужно использовать деление по модулю 8.
Рисунок 1.3 – Перевод чисел из десятичной в восьмеричную систему
Деление аналогично 2-чной системе.
1.1.3 Десятичная → Шестнадцатеричная
Шестнадцатеричная система почти полностью вытеснила восьмеричную систему. У нее основание 16, но используются десятичные цифры от 0 до 9 + латинские буквы от A(число 10) до F(число 15). С ней вы сталкиваетесь каждый раз, когда проверяете настройки сетевого адаптера — это МАС-адрес. Так же, когда используется IPv6.
Рисунок 1.4 – Перевод чисел из десятичной в шестнадцатеричную систему
1.2 Двоичная
В предыдущем примере мы перевели все десятичные числа в другие системы счислений, одна из которых двоичная. Теперь переведем каждое число с двоичной формы.
1.2.1 Двоичная → Десятичная
Для перевода чисел с двоичной формы в десятичную нужно знать два нюанса. Первый – у каждого нолика и единички есть множитель 2 в n-й степени, при котором n увеличивается справа налево ровно на единичку. Второй – после перемножения все числа нужно сложить и мы получим число в десятичной форме. В итого у нас будет формула такого вида:
D = (a n × p n-1) + (a n-1 × p n-2) + (a n-2 × p n-3) +…, (1.2.1)
Где,
D – это число в десятичной форме, которое мы ищем;
n
– количество символов в двоичном числе;
a – число в двоичной форме на n-й позиции (т.е. первый символ, второй, и т.п.);
p – коэффициент, равный 2,8 или 16 в степени n
(в зависимости от системы счисления)
К примеру возьмем число 110102. Смотрим на формулу и записываем:
- Число состоит из 5 символов (n =5)
- p = 2 (так как переводим из двоичной в десятичную)
a 5 = 1, a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0
В итоге имеем:
D = (1 × 2 5-1) + (1 × 2 5-2) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-5) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26 10
Кто привык записывать справа на лево, форму будет выглядеть так:
D = (0 × 2 5-5) + (1 × 2 5-4) + (0 × 2 5-3) + (1 × 2 5-2) + (1 × 2 5-1) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 26 10
Но, как мы знаем, от перестановки слагаемых сумма не меняется. Давайте теперь переведем наши числа в десятичную форму.
Рисунок 1.5 – Перевод чисел из двоичной в десятичную систему
1.2.2 Двоичная → Восьмеричная
При переводе нам нужно двоичное число разбить на группы по три символа справа налево. Если последняя группа не состоит из трех символов, то мы просто возмещаем недостающие биты ноликами. К примеру:
10101001 = 0 10 101 001
1011100 = 00 1 011 100
Каждая группа битов – это одно из восьмеричных чисел. Чтобы узнать какое, нужно использовать написанную выше формулу 1.2.1 для каждой группы битов. В результате мы получим.
Рисунок 1.6 – Перевод чисел из двоичной в восьмеричную систему
1.2.3 Двоичная → Шестнадцатеричная
Здесь нам нужно двоичное число разбивать на группы по четыре символа справа налево с последующим дополнением недостающих битов группы ноликами, как писалось выше. Если последняя группа состоит из ноликов, то их нужно игнорировать.
110101011 = 000 1 1010 1011
1011100 = 0 101 1100
001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000
Каждая группа битов – это одно из шестнадцатеричных чисел. Используем формулу 1.2.1 для каждой группы битов.
Рисунок 1.7 – Перевод чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему
1.3 Восьмеричная
В этой системе у нас могут возникнуть сложности только при переводе в 16-ричную систему, так как остальной перевод проходит гладко.
1.3.1 Восьмеричная → Двоичная
Каждое число в восьмеричной системе – это группа из трех битов в двоичной системе, как писалось выше. Для перевода нам нужно воспользоваться табличкой-шпаргалкой:
Рисунок 1.8 – Шпора по переводу чисел из восьмеричной системы
Используя эту табличку переведем наши числа в двоичную систему.
Рисунок 1.9 – Перевод чисел из восьмеричной в двоичную систему
Немного опишу вывод. Первое число у нас 142, значит будет три группы по три бита в каждой. Юзаем шпору и видим, что цифра 1 это 001, цифра 4 это 100 и цифра 2 это 010. В результате имеем число 001100010.
1.3.2 Восьмеричная → Десятичная
Здесь мы используем формулу 1.2.1 только с коэффициентом 8 (т.е. p=8). В результате имеем
Рисунок 1.10 – Перевод чисел из восьмеричной в десятеричную систему
- Число состоит из 3 символов (n =3)
- p = 8 (так как переводим из восьмеричной в десятичную)
a 3 = 1, a 2 = 4, a 1 = 2
В результате имеем:
D = (1 × 8 3-1) + (4 × 8 3-2) + (2 × 8 3-3) = 64 + 32 + 2 = 98 10
1.3.3 Восьмеричная → Шестнадцатеричная
Как писалось раньше, для перевода нам нужно сначала перевести числа в двоичную систему, потом с двоичной в шестнадцатеричную, поделив на группы по 4-ре бита. Можно использовать следующею шпору.
Рисунок 1.11 – Шпора по переводу чисел из шестнадцатеричной системы
Эта табличка поможет перевести из двоичной в шестнадцатеричную систему. Теперь переведем наши числа.
Рисунок 1.12 – Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему
1.4 Шестнадцатеричная
В этой системе та же проблема, при переводе в восьмеричную. Но об этом позже.
1.4.1 Шестнадцатеричная → Двоичная
Каждое число в шестнадцатеричной системе – это группа из четырех битов в двоичной системе, как писалось выше. Для перевода нам можно воспользоваться табличкой-шпаргалкой, которая находиться выше. В результате:
Рисунок 1.13 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в двоичную систему
Возьмем первое число – 62. Используя табличку (рис. 1.11) мы видим, что 6 это 0110, 2 это 0010, в результате имеем число 01100010.
1.4.2 Шестнадцатеричная → Десятичная
Здесь мы используем формулу 1.2.1 только с коэффициентом 16 (т.е. p=16). В результате имеем
Рисунок 1.14 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в десятеричную систему
Возьмем первое число. Исходя из формулы 1.2.1:
- Число состоит из 2 символов (n =2)
- p = 16 (так как переводим из шестнадцатеричной в десятичную)
a 2 = 6, a 1 = 2
В результате имеем.
D = (6 × 16 2-1) + (2 × 16 2-2) = 96 + 2 = 98 10
1.4.3 Шестнадцатеричная → Восьмеричная
Для перевода в восьмеричную систему нужно сначала перевести в двоичную, затем разбить на группы по 3-и бита и воспользоваться табличкой (рис. 1.8). В результате:
Рисунок 1.15 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему
В пойдет речь о IP-адресах, масках и сетях.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.
1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
Таблица 4. Степени числа 2
|
n (степень) |
|||||||||||
Пример.
2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:
Таблица 5. Степени числа 8
|
n (степень) |
|||||||
Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.
3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:
Таблица 6. Степени числа 16
|
n (степень) |
|||||||
Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.
4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.
5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.
6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
Люди не сразу научились считать. Первобытное общество ориентировалось на незначительное число предметов - один или два. Все, что было больше, по умолчанию наименовалось "много". Именно это считается началом современной системы исчисления.
Краткая историческая справка
В процессе развития цивилизации у людей стала появляться необходимость разделять небольшие совокупности предметов, объединенные общими признаками. Стали возникать соответствующие понятия: "три", "четыре" и так далее до "семи". Однако это был закрытый, ограниченный ряд, последнее понятие в котором продолжало нести смысловую нагрузку более раннего "много". Ярким примером этого является народный фольклор, дошедший до нас в первозданном виде (например, пословица "Семь раз отмерь - один раз отрежь").
Возникновение сложных способов счета
С течением времени жизнь и все процессы деятельности людей усложнялись. Это привело, в свою очередь, к возникновению более сложной системы исчисления. При этом люди использовали для наглядности выражения простейшие инструменты счета. Находили они их вокруг себя: они чертили палочки на стенах пещеры подручными средствами, делали зарубки, выкладывали интересующие их числа из палок и камней - вот лишь небольшой список существовавшего тогда многообразия. В дальнейшем современными учеными данному виду было присвоено уникальное название "унарная система исчисления". Ее суть состоит в записи числа с применением единственного вида знаков. Сегодня это наиболее удобная система, позволяющая визуально сопоставлять количество предметов и знаков. Наибольшее распространение она получила в начальных классах школ (счетные палочки). Наследством "камешкового счета" можно смело считать современные аппараты в их различных модификациях. Интересно и возникновение современного слова "калькуляция", корни которого идут от латинского calculus, что переводится не иначе как "камешек".
Счет на пальцах
В условиях крайне скудного словарного запаса первобытного человека жесты довольно часто служили важным дополнением к передаваемой информации. Преимущество пальцев было в их универсальности и в постоянном нахождении с объектом, который хотел передать информацию. Однако здесь есть и существенные недостатки: значительная ограниченность и кратковременность передачи. Поэтому весь счет людей, пользовавшихся "пальцевым способом", ограничивался цифрами, кратными количеству пальцев: 5 - соответствует количеству пальцев на одной руке; 10 - на обеих руках; 20 - общее количество на руках и ногах. Благодаря сравнительно медленному развитию числового запаса данная система просуществовала достаточно долгий временной промежуток.
Первые усовершенствования
С развитием системы исчисления и расширением возможностей и потребностей человечества максимальным используемым числом в культурах многих народов стало 40. Под ним также понималось неопределенное (не поддающееся счету) количество. На Руси широкое распространение получило выражение "сорок сороков". Его смысл сводился к количеству предметов, которое невозможно посчитать. Следующая ступень развития - это появление числа 100. Далее началось деление на десятки. Впоследствии стали появляться числа 1000, 10 000 и так далее, каждое из которых несло смысловую нагрузку, аналогичную семи и сорока. В современном мире границы конечного счета не определены. На сегодняшний день введено универсальное понятие "бесконечность".
Целые и дробные числа
Современные системы исчисления за наименьшее количество предметов принимают единицу. В большинстве случаев она является неделимой величиной. Однако при более точных измерениях она также подвергается дроблению. Именно с этим связано появившееся на определенном этапе развития понятие дробного числа. Например, вавилонская система денег (весов) составляла 60 мин, что равнялось 1 талану. В свою очередь 1 мина приравнивалась к 60 шекелям. Именно на основе этого вавилонская математика широко применяла шестидесятеричное дробление. Широко используемые в России дроби пришли к нам от древних греков и индийцев. При этом сами записи идентичны индийским. Незначительное отличие составляет отсутствие у последних дробной черты. Греки сверху прописывали числитель, а снизу знаменатель. Индийский вариант написания дробей получил широкое развитие в Азии и Европе благодаря двум ученым: Мухаммеду Хорезмскому и Леонардо Фибоначчи. Римская система исчисления приравнивала 12 единиц, называемых унциями, к целому (1 асс), соответственно, в основе всех вычислений лежали двенадцатиричные дроби. Вместе с общепринятыми довольно часто применялись и специальные деления. Так, например, астрономами до XVII века применялись так называемые шестидесятиричные дроби, которые были впоследствии вытеснены десятичными (ввел в обиход Симон Стевин - ученый-инженер). В результате дальнейшего прогресса человечества возникла необходимость в еще более значительном расширении числового ряда. Так появились отрицательные, иррациональные и Знакомый всем ноль появился относительно недавно. Он начал применяться при введении в современные системы исчисления отрицательных чисел.
Использование непозиционного алфавита
Что представляет собой такой алфавит? Для данной системы исчисления характерно, что значение цифр не меняется от их расстановки. Непозиционному алфавиту свойственно наличие неограниченного количества элементов. В основе систем, строящихся на базе данного вида алфавита, лежит принцип аддитивности. Другими словами, общее значение числа состоит из суммы всех цифр, которые включает запись. Возникновение непозиционных систем произошло раньше позиционных. В зависимости от способа счета общее значение числа определяется как разность или сумма всех цифр, входящих в состав числа.
Существуют недостатки таких систем. Среди основных следует выделять:
- введение новых цифр при формировании большого числа;
- невозможность отразить отрицательные и дробные числа;
- сложность выполнения арифметических действий.
В истории человечества применялись различные системы исчисления. Наиболее известными считаются: греческая, римская, алфавитная, унарная, древнеегипетская, вавилонская.
Один из наиболее распространенных способов счета
Сохранившаяся до наших дней практически в неизменном виде, является одной из самых известных. При помощи нее обозначаются различные даты, юбилейные в том числе. Также она нашла широкое применение в литературе, науке и других областях жизни. В римской системе исчисления используются всего семь букв каждая из которых соответствует определенному числу: I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.
Возникновение
Само происхождение римских цифр непонятно, история не сохранила точных данных их появления. При этом несомненным является факт: значительное влияние на римскую нумерацию оказала пятеричная система исчисления чисел. Однако в латинском языке отсутствуют упоминания о ней. На этом основании возникла гипотеза о заимствовании древними римлянами своей системы у другого народа (предположительно, у этрусков).
Особенности
Запись всех целых чисел (до 5000) производится при помощи повторения описанных выше цифр. Ключевой особенностью является расположение знаков:
- сложение происходит при том условии, что большее стоит перед меньшим (XI = 11);
- вычитание происходит, если меньшая цифра стоит перед большей (IX = 9);
- один и тот же знак не может стоять подряд более трех раз (например, 90 записывается ХС вместо LXXXX).
Недостатком ее является неудобство выполнения арифметических действий. При этом она просуществовала довольно долго и перестала использоваться в Европе в качестве основной системы исчисления сравнительно недавно - в 16-м веке.
Римская система исчисления не считается абсолютно непозиционной. Связано это с тем, что в ряде случаев происходит вычитание меньшей цифры из большей (например, IX = 9).
Способ счета в Древнем Египте
Третье тысячелетие до нашей эры считается моментом возникновения системы исчисления в Древнем Египте. Суть ее состояла в записи специальными знаками цифр 1, 10, 102, 104, 105, 106, 107. Все остальные числа записывались в виде комбинации данных исходных знаков. При этом существовало ограничение - каждая цифра должна была повторяться не более девяти раз. В основе этого способа счета, который современные ученые называют "непозиционная десятичная система исчисления", лежит простой принцип. Смысл его состоит в том, что написанное число равнялось сумме всех цифр, из которых оно состояло.
Унарный способ счета
Система исчисления, в которой при записи чисел использован один знак - I - называется унарной. Каждое последующее число получается в результате прибавления новой I к предыдущему. При этом количество таких I равно значению записанного при помощи них числа.
Восьмеричная система исчисления
Это позиционный способ счета, в основании которого лежит число 8. Для отображения чисел используется цифровой ряд от 0 до 7. Широкое применение данная система получила в производстве и использовании цифровых устройств. Основным ее преимуществом является легкий перевод чисел. Их можно преобразовать в и обратно. Данные манипуляции осуществляются благодаря замене чисел. Из восьмиричной системы они переводятся в двоичные триплеты (например, 28 = 0102, 68 = 1102). Данный способ счета был распространен в области компьютерного производства и программирования.
Шестнадцатиричная система исчисления
В последнее время в компьютерной сфере данный способ счета используется достаточно активно. В корне данной системы лежит основание - 16. Система исчисления, базирующаяся на нем, предполагает использование цифр от 0 до 9 и ряда букв латинского алфавита (от А до F), которые применяются для обозначения интервала от 1010 до 1510. Данный способ счета, как уже было отмечено, используется при производстве программного обеспечения и документации, связанной с компьютерами и их составляющими. Основано это на свойствах современного компьютера, основной единицей которого является 8-битная память. Ее удобно преобразовывать и записывать при помощи двух шестнадцатиричных цифр. Основоположником такого процесса явилась система IBM/360. Документация для нее была впервые переведена этим способом. Стандарт Юникода предусматривает запись любого символа в шестнадцатиричном виде с использованием не менее 4 цифр.
Способы записи
Математическое оформление способа счета основывается на указании его в нижнем индексе в десятичной системе. Пример, число 1444 записывается в виде 144410. Языки программирования для записи шестнадцатиричных систем имеют разные синтаксисы:
Заключение
Как изучаются Информатика - основная дисциплина, в рамках которой осуществляется накопление данных, процесс их оформления в удобный для потребления вид. С применением особых инструментов происходит оформление и перевод всей доступной информации в язык программирования. Он в дальнейшем используется при создании программного обеспечения и компьютерной документации. Изучая различные системы исчисления, информатика предполагает использование, как уже сказано было выше, разных инструментов. Многие из них способствуют осуществлению быстрого перевода чисел. Одним из таких "инструментов" является таблица систем исчисления. Пользоваться ею достаточно удобно. При помощи данных таблиц можно, например, быстро перевести число из шестнадцатиричной системы в двоичную, не обладая при этом специальными научными знаниями. Сегодня возможность осуществлять цифровые преобразования есть практически у каждого заинтересованного в этом человека, поскольку необходимые инструменты предлагаются пользователям на открытых ресурсах. Кроме того, существуют и программы онлайн-перевода. Это существенно упрощает задачу по преобразованию чисел и сокращает время операций.